Combinatoria

Conocer la cantidad de formas de ordenar las cosas es importante para conocer las probabilidades de encontrarlas en ese orden o de lograr colocarlas en ese orden. Y a las personas nos gusta ordenar las cosas porque así obtenemos información útil de ellas.

Permutaciones

Si hay una sola cosa, ya esta ordenada. No puede estar ni adelante, ni atrás, ni arriba, ni abajo, ni a la izquierda ni a la derecha de nada más. Si hay dos cosas, si podemos colocar una a la izquierda de otra o a la derecha. Olvidemos por un momento que puede estar también arriba, abajo, adelante o atrás, para pder verlas solo con etiquetas de texto. Asignemos el nombre o etiqueta "A" a una de las cosas y la etiqueta "B" a la otra cosa. Tenemos entonces las probables formas de ordenar:

AB

BA

Bien, hasta ahora: una cosa, una forma de ordenar. Dos cosas, dos formas de ordenar. Si añadimos una tercera cosa con etiqueta "C" tenemos las probables formas de ordenar:

ABC

ACB

BAC

BCA

CAB

CBA

Ahora con tres cosas, tenemos seis formas de ordenar. Si añadimos una cuarta cosa con etiqueta "D" tenemos:

ABCD BACD CABD DABC

ABDC BADC CADB DACB

ACBD BCAD CBAD DBAC

ACDB BCDA CBDA DBCA

ADBC BDAC CDAB DCAB

ADCB BDCA CDBA DCBA

Esto es 24 formas de ordenar. Asi si vamos añadiendo una cosa en el orden: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... Se va formando una sequencia de maneras de ordenar: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, ... O lo que es lo mismo: 1, 1x2, 1x2x3, 1x2x3x4, 1x2x3x4x5, 1x2x3x4x5x6, ... , 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10, ... Así que la formas de ordenar cosas es igual a multiplicar todo hasta llegar al numero de cosas, operación matemática también conocida como factorial deun número,y para un número n se se escribe n! , yeah! un número que sorprende por lo rápido que pasamos de 1 a más de 3 millones en solo diez pasos.

Combinaciones

Muchas de veces de todas las formas posibles de ordenar muchas cosas, solo necesitamos las que incluyen unas pocas. Por ejemplo, si tenemos en le bolsillo cuatro monedas: una de 5 centavos, una de 10 centavos, una de 50 centavos y otra de 1 dólar. ¿Cuánto podemos juntar sacando solo dos monedas del bolsillo? Las formas de ordenar las cuatro monedas, si les pusieramos los nombres "A", "B","c" y "D" es fácil ver que son las 24 formas de antes. Si sacamos dos, y no nos importa el orden entre las dos, tenemos como opciones:

AB, BC, CD, AC, BD y AD

Que vendrían siendo: 15 centavos, 60 centavos, 1.50 dólares, 55 centavos, 1.10 dólares, y 1.05 dólares. En términos matemáticos existe una fórmula para obtener las combinaciones de k elementos de un conjunto de n elementos

${n}\choose{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} $

Si usamos con k igual 2 y n igual 4 nos da $\frac{24}{(2)(2)}=6$, que es lo que esperabamos.

Combinaciones, permutaciones y probabilidades.

Las combinaciones y permutaciones nos sirven bastante para obtener probabilidades. Por ejemplo: Si con nuestras cuatro monedas de antes, lo que queremos es sacar 60 centavos del bolsillo. Entonces solo nos sirven la moneda de 10 centavos o moneda "B" y la de 50 centavos o moneda "C". Usemos de nuevo el concepto de orden, sacar solo dos monedas es similar a que sean las dos primeras en alguna de las formas de ordenar las cuatro.

Así las formas que nos sirven son BCAD, BCDA, CBAD y BCAD.

Solo 4 de las 24 formas nos sirven para sacar dos monedas antes o el esto es $4/24 \times 100= 16.66\%$ de probabilidades de obtener 60 centavos en un intento.

Y de las combinaciones, 60 centavos es una de la 6 posibles, esto es $1/6 \times 100= 16.66\%$ de probabilidades.

Las permutaciones consideran el orden de los elementos, las combinaciones no, por eso existen más permutaciones que combinaciones.

Variaciones

Hasta ahora considerabamos que teníamos solo uno de cada uno de los elementos a los que dimos una etiqueta. Pero cuando las etiquetas son números es muy común que tengamos un 1 o un 11. Que encontremos un 2, un 22 o un 222 en un grupo de números. ¿De cuántas formas se pueden ordenar el "0" y el "1", si se pueden repetir?

Tenemos:

00

01

10

11

Esto es cuatro formas de ordenarlos. Si añadimos el 2 y permitimos que se repita tenemos:

000 001 002 010 020 011 012 021 022

100 101 102 110 111 112 120 121 122

200 201 202 210 211 212 220 221 222

Esto es 27 formas de ordenarlos. Así, si tenemos esta cantidad de elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... La cantidad de variaciones son: 1, 4, 27, 256, 3125, 46656, 823543, 16777216, 387420489, 10000000000

Esta secuencia en matemática se represnta como $n^n$

Wow! Si la serie anterior superaba en diez pasos los 3 millones, está llega a los 10 mil millones en los mismos diez pasos.

Asi es 10 mil millones con solo 9 etiquetas, por eso los humanos nos pusimos de acuerdo en usar esta forma de asignar números a las cosas. Para ponerlo en otra perspectiva: Si contaramos un número cada segundo para llegar a 10 mil millones necesitamos casi 317 años (gracias a los años bisiestos o si no es más de 317 años). ¿Curioso, no? La cantidad total de humanos cada vez se aproxima a esta cantidad, si dedicamos medio segundo para decir ¡Hola! a cada persona, necesitaríamos pasar toda nuestra vida saludando, incluso antes de aprender a hablar :o Y lo mejor, es que un sistema de numeración, las etiquetas de números o dígitos, pueden ser más que la cantidad de simbolos disponibles. El mismo número 10000000000 tiene 11 etiquetas (dígitos) y no solo 9 dígitos, ya que 9 son lon símbolos disponibles.